| Mv1105 Fejezetek a matematika kultúrtörténetéből
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Klukovits Lajos Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv1105 Fejezetek a matematika kultúrtörténetéből TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Javasolt felvétele: a képzés 5. félévében. Különösen javasolt a(z) 5. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A XX. század egyik nagy matematikusa, H. Hankel szerint "A legtöbb tudományban mindegyik generáció lerombolja azt, amit elődei építettek, amit az elődök megállapítottak, azt az utódok átírják. A matematika az egyetlen, amelyben minden egyes generáció új értelmet illeszt a régi struktúrához." E gondolatokat is figyelembe véve mutatjuk be a matematika 4000 éves fejlődésének néhány lépését. Az előadásokban a matematika mint az egyetemes kultúra integráns része jelenik meg, mindig - ha csak vázlatosan is - általánosan bemutatjuk az adott kort, kitérve a kultúra más területeire.
A nagy ókori folyammenti kultúrák (Egyiptom, Mezopotámia, India és Kína) matematikájának néhány kiemelkedő eredménye. Újabb elmélet a rendszerezettnek tekinthető matematika kialakulásának idejéről.
A matematika deduktív tudománnyá válása az ókori görögöknél, az ún. klasszikus kor néhány híres iskolájának bemutatása. Euklidész: Elemek. A bizonyítás és a sejtés erőteljes szétválasztása Archimédésznél.
A középkori iszlám kultúrák matematikájának néhány vonása. Az európai matematika kezdete.
A projektív geometria kialakulása a reneszánsz festészet-elméletből. A nem-euklideszi geometriák létrejötte.
A XIX. század matematikájának néhány jellegzetes vonása. Az igazság elvesztése, majd megtalálása: logicizmus, intuicionizmus, formalizmus. Egy lehetséges válasz arra a kérdésre, hogy "igaz-e, ami bizonyítható, bizonyítható-e, ami igaz." Megjegyzés: Az előadások lényegében csak a középiskolai matematika tananyagra támaszkodnak.
Ajánlott irodalom
1. Euklidész: Elemek, Gondolat, 1983.
2. Freud R. (szerk.): Nagy pillanatok a matematika történetéből, Gondolat, 1981.
3. A. P. Juskevics: A középkori matematika története, Gondolat, 1982.
4. M. Kline: Mathematics in Western Culture, Allen and Unwin, 1954.
5. M. Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1979, 1990.
6. O. Neugebauer: Egzakt tudományok az ókorban, Gondolat, 1984.
7. B. L. van der Waerden: Egy tudomány ébredése, Gondolat, 1977.
8. B. L. van der Waerden: Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983.
|
|
Mv1107 Számelméleti feladatok a középiskolában
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Megyesi László Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv1107 Számelméleti feladatok a középiskolában TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
1. Az országos versenyek, nemzetközi diákolimpiák, valamint a KÖMAL feladatai alapján a következő témák feldolgozása:
Oszthatóság. Prímszámok. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Kongruenciák. Kínai maradéktétel. A Fermat-tétel. Egész számok különböző sorozatai. Diofantoszi egyenletek.
2. A következő (középiskolában is tárgyalható) elméleti kérdések ismertetése:
A Fermat-tétel és a titkosírás. Prímtesztek és a faktorizáció (vázlatos ismertetés). Carmichael-számok, Fibonacci-számok, a Lucas-számok és általánosításuk, a Lucas-számpárok. Prímeket adó polinomok. Barátságos számpárok és barátságos láncok. Néhány diofantoszi probléma.
3. A tanulók számelméleti érdeklődésének felkeltésére alkalmas nevezetes problémák, sejtések:
a) Fermat-sejtés és megoldásának alapjai. Goldbach-sejtés. Waring-probléma. Hilbert hetedik problémája. Dickson-sejtés és következményei. Páratlan tökéletes szám létezésének kérdése. Giuga sejtése. Ikerprím probléma.
b) Számelméleti rekordok: Mersenne-prímek. Fermat-számok. Barátságos számpárok. Sophie-Germain-prímek.
Ajánlott irodalom
1. Középiskolai Matematikai Versenyek (sorozat)
2. Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, 1997.
3. Reimann István: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959-1994, Typotex, 1997.
4. W. Sierpinski: 200 feladat az elemi számelméletből, Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó, 1968.
|
|
Mv1209 Számítógép alkalmazása a matematika tanításában
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Kovács Zoltán
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv1209 Számítógép alkalmazása a matematika tanításában TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 3. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A számítógépes matematikaóra formai keretei. Szerzői jogi, kompatibilitási, műszaki, anyagi természetű kérdések. Internetes információs csomópontok, keresés, letöltés, telepítés. Az oktatóprogramok osztályozásának lehetőségei. A gimnáziumi tananyaghoz kapcsolódó konkrét szoftverek használata a gyakorlatban: kalkulátorok (Windows Számológép, bc, xcalc), függvényábrázolók (Advanced Grapher, Excel, gnuplot, kplot), geometriai illusztrációs programok (Geomdemo, Euklides). Komputeralgebrai rendszerek (Maple, MuPAD), programozásuk. A törzsanyaghoz közvetlenül nem kapcsolódó, egyéb matematikai tárgyú szoftverek (Fractint, XaoS, Sierpinski). A számítástechnika fő vezérlési szerkezeteinek Pascal nyelvű megvalósításai, használatuk matematikai példaprogramokban (számelméleti vizsgálódások, függvényanalízis, valószínűségszámítás, szummáció). Bevezető VRML, HTML és TeX programozás. A Microsoft Word egyenletszerkesztője és a LyX matematikai szövegszerkesztő.
|
|
Mv1301 A Bolyai-geometria axiomatikus megalapozása
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Ódor Tibor Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv1301 A Bolyai-geometria axiomatikus megalapozása TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A geometriának mint tudománynak a kialakulása. Az axiomatikus megalapozás igénye, követelményei. A párhuzamosság fogalmának vizsgálata. Abszolút geometria. A hiperbolikus geometria felépítése: párhuzamosság, háromszögek, sokszögek területe, ciklusok, szférák, geometria a paraszférán, párhuzamossági szög, hiperbolikus függvények, trigonometria. A hiperbolikus sík és tér modelljei.
Ajánlott irodalom
1. Szenthe János-Juhász Rozália: A geometria alapjai
|
|
Mv1307 Szemléletes topológia
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Kiss György Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv1307 Szemléletes topológia TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Nyílt és zárt halmazok, környezetek, kompaktság, összefüggőség. Folytonos leképezések, topologikus ekvivalenciák. Egy körvonalat egy egyenesbe vivő folytonos leképzések.
A palacsintaprobléma (ha A és B két korlátos tartomány a síkon, akkor van olyan egyenes, amely mindkettő területét felezi). Egy görbe takarási szögének definíciója és kiszámítása. Zárt görbének egy pontra vonatkozó körüljárási száma. Görbék homotómiája. A körüljárási szám állandósága homotópiánál.
Egy körlemez önmagába való folytonos leképzésének van fixpontja. Az algebra alaptételének bizonyítása.
Egy gömbfelületet a síkba vivő leképzés két alkalmas átellenes pontot ugyanabba a pontba visz.
A sonkás szendvics felezése (ha A, B és C a tér három korlátos és összefüggő nyílt halmaza, akkor van olyan sík, amely mindháromnak felezi a térfogatát). Vektormezők és leképzések ekvivalenciája. A Föld felszínén mindig van olyan pont, ahol nem fúj a szél. Magasabb dimenziós általánosítások.
|
|
Mv2113 Játékelmélet
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Megyesi László Dr.
Teljesítendő:min. 4 kredit- Leírás - Annotation
- Tematika
Nemkooperatív játékok. Az egyensúlypont fogalma és főbb tulajdonságai. Véges játékok kevert bővítése. A minimax tétel. Mátrixjátékok és megoldásuk. A tengelymódszer. Bimátrix játékok. Mátrixjátékok és a lineáris programozás, bimátrix játékok és a kvadratikus programozás kapcsolata. Szimplex-módszer. Konkáv játékok. Alkalmazások.
Kooperatív játékok. Általános fogalmak: karakterisztikus függvény, eloszlás fogalma. A játék magja, a játék Neumann-Morgenstern-féle megoldása. Shapley-értékek, Nash, Raiffa koncepciója. Alkalmazások.
Ajánlott irodalom
1. Szidarovszki Ferenc, Molnár Sándor: Játékelmélet műszaki alkalmazásokkal, Műszaki Könyvkiadó, 1986.
2. J.D. Williams: Játékelmélet, Műszaki Könyvkiadó, 1972.
| Mv2113 Játékelmélet TTK Előadás Kötelező 3 óra / 4kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Nemkooperatív játékok. Az egyensúlypont fogalma és főbb tulajdonságai. Véges játékok kevert bővítése. A minimax tétel. Mátrixjátékok és megoldásuk. A tengelymódszer. Bimátrix játékok. Mátrixjátékok és a lineáris programozás, bimátrix játékok és a kvadratikus programozás kapcsolata. Szimplex-módszer. Konkáv játékok. Alkalmazások.
Kooperatív játékok. Általános fogalmak: karakterisztikus függvény, eloszlás fogalma. A játék magja, a játék Neumann-Morgenstern-féle megoldása. Shapley-értékek, Nash, Raiffa koncepciója. Alkalmazások.
Ajánlott irodalom
1. Szidarovszki Ferenc, Molnár Sándor: Játékelmélet műszaki alkalmazásokkal, Műszaki Könyvkiadó, 1986.
2. J.D. Williams: Játékelmélet, Műszaki Könyvkiadó, 1972.
|
|
Mv2401 A fraktálok geometriája
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Szabó László Imre Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit- Leírás - Annotation
- Tematika
A Cantor-halmaz. A Sierpinski-háromszög. A Sierpinski-szőnyeg és a Menger-szivacs. A Koch-görbe. Metrikus terek. Teljes metrikus terek. Fixponttételek. Térkitöltő görbék. Iterált függvényrendszerek. Invariáns halmazok. A káosz-játék. A hasonlósági dimenzió. A kis induktív dimenzió. A lefedési és a nagy induktív dimenzió. A doboz-dimenzió. A Hausdorff-dimenzió.
Ajánlott irodalom
1. Szabó László: Ismerkedés a fraktálok matematikájával, POLYGON, Szeged, 1997.
| Mv2401 A fraktálok geometriája TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Javasolt felvétele: a képzés 1. félévében. Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A Cantor-halmaz. A Sierpinski-háromszög. A Sierpinski-szőnyeg és a Menger-szivacs. A Koch-görbe. Metrikus terek. Teljes metrikus terek. Fixponttételek. Térkitöltő görbék. Iterált függvényrendszerek. Invariáns halmazok. A káosz-játék. A hasonlósági dimenzió. A kis induktív dimenzió. A lefedési és a nagy induktív dimenzió. A doboz-dimenzió. A Hausdorff-dimenzió.
Ajánlott irodalom
1. Szabó László: Ismerkedés a fraktálok matematikájával, POLYGON, Szeged, 1997.
|
|
Mv2501 Matematikai módszerek a statisztikus fizikában
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Krámli András Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv2501 Matematikai módszerek a statisztikus fizikában TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Javasolt felvétele: a képzés 2. félévében. Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A valószínűségszámítási ismeretek összefoglalása, a Cramér-féle nagy eltérés tétel. Mikrokanonikus és kanonikus ensemble: a Boltzmann-eloszlás. A határ Gibbs-eloszlás Dobrusin-Lanford-Ruelle-féle definíciója ([4]). A termodinamikai mennyiségek származtatása az állapotösszegből. A fázisátmenet kétféle definíciója (az állapotösszeg analiticitása sérül, ill. a határ Gibbs-eloszlás nem egyértelmű ([3]). Az Ising-modell ([2], [4]). Fázisátmenet létezése alacsony hőmérsékleten az Ising-modellben: a Peierls-féle kontúr módszer ([4]). A korrelációs (Kirkwood-Salzburg) egyenlet ([2]), a fázisátmenet nem létezik az Ising-modellben alacsony hőmérsékleten. Analitikus módszerek, a Li-Yang tétel ([3]). Az FKG egyenlőtlenség és következményei ([1]). A másodfajú fázisátmenet: a Dyson-féle hierarchikus modell.
Ajánlott irodalom
1. Alon, N., Spencer J.H., The probabilistic method with an appendix by Paul Erdős, Wiley, 1992.
2. Preston, C., Gibbs states on countable sets, Cambridge Univ. Press, 1974.
3. Ruelle, d., Statistical mechanics. Rigorous results, W. Benjamin, 1969.
4. Sinai, Ya. G., Theory of phase transitions, rigorous results, Akadémiai Kiadó, 1981.
|
|
Mv3109 Félcsoportelmélet
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Bálintné Szendrei Mária Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3109 Félcsoportelmélet TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Transzformáció-félcsoportok, félcsoportok ábrázolása transzformációkkal. Ciklikus félcsoportok, szabad félcsoportok. Ideál és Rees-kongruencia.
Green-relációk, $D=J$ a periódikus, ill. bizonyos minimumfeltételeknek eleget tevő félcsoportokban, a $D$-osztályok szerkezete, Green tétele. Reguláris elem, inverzelem, reguláris $D$-osztályok. Lallement lemmája.
Egyszerű félcsoportok, főfaktorok. Rees tétele teljesen egyszerű félcsoportokra.
Teljes reguláris félcsoportok "nagybani" szerkezete, csoportok félhálóinak "finom" szerkezete.
Inverz félcsoportok jellemzései, ábrázolásuk parciális bijekciókkal. Munn tétele fundamentális inverz félcsoportokra.
Ajánlott irodalom
1. John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Claredon, 1995.
|
|
Mv3113 Hálóelmélet
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Czédli Gábor Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3113 Hálóelmélet TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Háló fogalma, dualitás, teljes háló, fixponttétel. Algebrai hálók és részalgebrahálók. Disztributív hálók. Birkhoff és Stone reprezentációs tétele, a véges disztributív hálók szerkezete. Birkhoff és Dedekind kritériuma. A három elem által generált szabad moduláris és disztributív háló kongruenciái. Moduláris hálók: intervallumok izomorfiatétele, elemfelbontások, független elemrendszerek. Geometriai hálók és komplementumos moduláris hálók. Projektív geometriák mint moduláris hálók. Hálók koordinátázása. Hálóvarietások.
Ajánlott irodalom
1. Czédli Gábor: Hálóelmélet, JATE Press, 1999.
|
|
Mv3115 Kódoláselmélet
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Czédli Gábor Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit- Leírás - Annotation
- Tematika
Shannon tétele jó hibajavító kódok létezéséről. Véges testek, kanonikus alak, minimálpolinom. Lineáris kódok, generátor- és paritásellenőrző mátrix. Hamming-, Hadamard-, Golay- és Reed-Muller-kódok. Adott kódokból újabbak konstruálása. Kódok minimális távolságára vonatkozó korlátok. Ciklikus kódok. BCH kódok. BCH kód hibajavító dekódolása. Reed-Solomon-kódok. QR (kvadratikus maradék) kódok. Hibajavító kódok a digitális audiotechnikában.
Ajánlott irodalom
1. J.H. van Lint: Introduction to Coding Theory, Springer-Verlag, 1982.
2. S.A. Vanstone, P.C. van Oorschot: An Introduction to Error correcting Codes with applications, Kluwer, 1989.
| Mv3115 Kódoláselmélet TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Shannon tétele jó hibajavító kódok létezéséről. Véges testek, kanonikus alak, minimálpolinom. Lineáris kódok, generátor- és paritásellenőrző mátrix. Hamming-, Hadamard-, Golay- és Reed-Muller-kódok. Adott kódokból újabbak konstruálása. Kódok minimális távolságára vonatkozó korlátok. Ciklikus kódok. BCH kódok. BCH kód hibajavító dekódolása. Reed-Solomon-kódok. QR (kvadratikus maradék) kódok. Hibajavító kódok a digitális audiotechnikában.
Ajánlott irodalom
1. J.H. van Lint: Introduction to Coding Theory, Springer-Verlag, 1982.
2. S.A. Vanstone, P.C. van Oorschot: An Introduction to Error correcting Codes with applications, Kluwer, 1989.
|
|
Mv3119 Rendezett halmazok
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Zádori László Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3119 Rendezett halmazok TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Soros-párhuzamos rendezett halmazok. Dilworth láncokra bontási tétele. Rendezett halmazok dimenziója. Véges disztributív hálók és rendezett halmazok kapcsolata. Sperner típusú tételek. Lebontható rendezett halmazok és a fixponttulajdonság. Rendezett halmazok aritmetikája. Irreducibilis rendezett halmazok. Rendezett halmazok varietásai.
Ajánlott irodalom
1. K. Bogart, R. Freese, J. Kung (szerk.): The Dilworth's theorems, Birkhauser, 1990.
2. D. Duffus, I. Rival: A structure theory for ordered sets, Discrete Math. 35(1981), 53-118.
3. P. Grillet: Maximal clone chains and antichains, Fund. Math. 65(1969), 157-167.
4. G. Tardos: A maximal clone of monotone operations that is not finitely generated, Order 3(1986), 211-218.
5. W.T. Trotter: Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension Theory, Johns Hopkins University Press, 1992.
6. J. Valdes, R.E. Terjan, E.L. Lawler: The recognition of series parallel digraphs, SIAM J. Comp. 11(1982), 298-313.
|
|
Mv3123 Univerzális algebra
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Szendrei Ágnes Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3123 Univerzális algebra TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Algebra, kifejezésfüggvény, polinomfüggvény. Részalgebra. Izomorfizmus, homomorfizmus. Kongruenciareláció, faktoralgebra. Homomorfiatétel, általános izomorfiatételek. Direkt szorzat, további szorzatfajták. Szubdirekt fölbontás, Birkhoff tétele. Lezárási operátorok, lezárási rendszerek. Kísérő struktúrák (endomorfizmus-monoidok, automorfizmus-csoportok, részalgebra-hálók, kongruenciaháló). Szóalgebra, szabad algebra. A $H, S, P$ lezárási operátorok algebraosztályokon. Varietások, Birkhoff varietástétele, s kapcsolat a szóalgebrák teljesen invariáns kongruenciáival. Birkhoff-féle teljességi tétel. Magari tétele. Varietások ekvivalenciája. Azonosságokkal jellemezhető tulajdonságok varietásokon. Malcev és Pixley tétele. A modulusvarietások jellemzése. Elsőrendű nyelvek és struktúrák. Ultraszorzat, kompaktsági tétel. Speciális varietások (pl. monounáris varietások, minimális varietások, diszkriminátorvarietások).
Ajánlott irodalom
1. Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó 1985, 1988, JATE Press 1993, 1998.
2. S. Burris, H.P. Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába, Tankönyvkiadó, 1988.
|
|
Mv3301 Algebrai görbék
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Nagy Gábor Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3301 Algebrai görbék TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Görbék, komponensek. Egyszerű és szinguláris pontok, érintők szinguláris pontokban. Metszési multiplicitás, Bézout-tétel, rezultánsok. Lineáris görberendszerek, a Ceva-tétel és a Menelaosz-tétel általánosításai magasabbrendű görbékre. Harmadfokú görbék, csoportművelet a pontokon. Szinguláris pontok feloldása, kvadratikus transzformációk. Parametrizálás hatványsorral, ágak. Divizorok és differenciálformák, a Riemann-Roch-tétel. Görbe neme (génusz), különböző definíciók a nemre.
Ajánlott irodalom
1. Kollár János: Algebrai görbék, Mat. Lapok (kb. 1978)
|
|
Mv3303 Differenciálható sokaságok
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Kurusa Árpád Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3303 Differenciálható sokaságok TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A sokaság definíciója, érintőér, vektormező, Riemann-metrika, görbe és ívhossza, Lie-derivált, konnexió, Christofel-szimbólumok, iránymenti deriválás, torzió, Levi-Civita-konnexió, Riemann-görbület, geodetikusok exponenciális leképezés, külső formák, integrálás, disztribúciók, Lie-csoportok, homogén terek, szimmetrikus terek.
Ajánlott irodalom
1. B. A. Dubrovin - A. T. Fomenko - S. P. Novikov: Modern Geomety -
2. Methods and applications Part I. - II.;
3. S. Kobayashi - K. Nomizu: Foundations of differential geometry;
4. S. Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces.
|
|
Mv3305 Geometriák és modelljeik
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Ódor Tibor Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3305 Geometriák és modelljeik TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Az axiomatikus módszer. Az axiómarendszserekkel szemben támasztott követelmények. A modell. Geometriai modellek. Projektív, affin geometriák modelljei. A nemeuklideszi geometria felfedezése. Az abszolút geometria analitikus modellje. A hiperbolikus geometria Cayley-Klein-modellje és Poincare-modelljei. A Weierstrass-modell. A görbületi tenzor. Geometriák felületeken. Elliptikus, hiperbolikus, euklideszi geometria.
Ajánlott irodalom
1. Coxeter, H.S.M.: Projektív geometria, Gondolat, 1986.
|
|
Mv3315 Transzformációcsoportok
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Ódor Tibor Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3315 Transzformációcsoportok TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Csoportok. Permutációcsoportok, transzformációcsoportok, csoporthatás, tranzitivitás, élesen tranzitív, k-tranzitív csoportok. Testek. Euklideszi geometria mint a valós testre épített geometria, axiomatika (kommutativitással), a valós és a komplex számtest, véges testek. Egydimenziós affin általános lineáris csoport. A lineáris leképezések szigorúan 2-tranzitív csoportot alkotnak, szemidirekt felbontásuk, a komplex test multiplikatív csoportja a valós síkon, a kvaternió ferdetest multiplikatív csoportja. Általános lineáris csoport. A transzformációcsoport és a mátrixcsoport kapcsolata, bázisváltás, centrum és kommutátor részcsoport. Affin általános lineáris csoport. Szemidirekt felbontása. Projektív geometriák. Projektív sík, magasabb dimenziók, alterek, ideális elemek, homogén koordinátázás. Projektív lineáris csoportok. $PGL(n,T)$, $PSL(n,T)$ definíciói, törtlineáris leképezések, $PGL(2,T)$ szigorú 3-tranzitivitása, a projektív speciális lineáris csoport egyszerűsége. Ortogonális csoportok. Definíció, kvadrikák kanonikus alakja a valós, a komplex és a véges testek fölött, $PGL(2,T)$ és $PO(3,T)$ izometriája és a Klein megfeleltetés.
|
|
Mv3317 Véges geometria
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Kiss György Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3317 Véges geometria TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Példák véges síkokra. A véges síkok leképezésének problémája, Bruck-Ryser tétel. Projektív síkok koordinátázása, konfigurációs tételek (Desargues, Papposz) és a koordinátastruktúra kapcsolata. Nem-desarguesi síkok. Ívek, oválisok, Segre tétele és alkalmazásai. Magpontok, lefogó ponthalmazok. Magasabb dimenziós projektív terek. Kollineációk és polaritások leírása. Kvádrikák, Hermite-görbék, Mőbius-síkok és általánosított sokszögek alapvető tulajdonságai.
Ajánlott irodalom
1. D.R. Hughes, F.C. Piper: Projective Planes, Springer, 1968.
2. J.W.P. Hirschfeld: Projective Geometries over Finite Fields, Clarendon
3. Press, Oxford, 1979;
4. J.W.P. Hirschfeld: General Galois Geometries, Clarendon Press, Oxford, 1991;
5. Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba, Akad. Kiadó, Budapest, 1976.
|
|
Mv3401 Algoritmikus geometria
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Fodor Ferenc Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit- Leírás - Annotation
- Tematika
Algoritmuselméleti alapfogalmak, képtárproblémák, sokszögek triangulációja, monoton partícionálás, trapézokra bontás, konvex partícionálás, minimális feszítőfa, konvex burok keresés $2$ és $3$-dimenzióban, pontrendszerek Voronoi cellafelbontása, Delaunay trianguláció, sokszögek extremális pontjai, pontrendszerek átmérője, szélessége, töröttvonal belsejének meghatározása, pontrendszerek felező egyenesei, pontok és egyenes közötti illeszkedések.
Ajánlott irodalom
1. J. O'Rourke, Computational Geometry in C, Cambridge University Press, 1994.
2. H. Edelsbrunner, Algorithms in Combinatorial Geometry, Springer, 1987.
3. T.H. Corman, C.E. Leiserson, R. Rivest, Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, 1998.
| Mv3401 Algoritmikus geometria TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Algoritmuselméleti alapfogalmak, képtárproblémák, sokszögek triangulációja, monoton partícionálás, trapézokra bontás, konvex partícionálás, minimális feszítőfa, konvex burok keresés $2$ és $3$-dimenzióban, pontrendszerek Voronoi cellafelbontása, Delaunay trianguláció, sokszögek extremális pontjai, pontrendszerek átmérője, szélessége, töröttvonal belsejének meghatározása, pontrendszerek felező egyenesei, pontok és egyenes közötti illeszkedések.
Ajánlott irodalom
1. J. O'Rourke, Computational Geometry in C, Cambridge University Press, 1994.
2. H. Edelsbrunner, Algorithms in Combinatorial Geometry, Springer, 1987.
3. T.H. Corman, C.E. Leiserson, R. Rivest, Algoritmusok, Műszaki Könyvkiadó, 1998.
|
|
Mv3503 Bevezetés a disztribúcióelméletbe I.
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Hegedűs Jenő Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv3503 Bevezetés a disztribúcióelméletbe I. TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A differenciálhatóság ill. a differenciálásra vonatkozóan zárt függvényosztályok problematikája a klasszikus függvénytanban és a disztribúció-derivált definíciójának alapötlete.
A tesztfüggvények $C^\infty_0 ({\openo R}) \sim {\cal D} ({\openo R})$ tere, s a rajta értelmezett lineáris, folytonos funkcionálok ${\cal D}'({\openo R})$-tere (azaz az egyváltozós disztribúciók tere). Szokásos (lokálisan Lebesgue-integrálható) függvények, mint reguláris disztribúciók; nemreguláris disztribúciók; regularizációs problémák. Komplex értékű tesztfüggvények és disztribúciók. Műveletek a disztribúciók körében. Közönséges differenciálegyenletek klasszikus és disztribúció-megoldásai; a klasszikus Cauchy-probléma analogonja; fundamentális (alap) - megoldások. Többváltozós tesztfüggvények és disztribúciók. Disztribúciók parciális deriváltjai; műveletek a ${\cal D}'({\openo R}^n)$ térben. Reguláris és nemreguláris többváltozós disztribúciók, regularizációs problémák. "Szakaszosan" sima függvények disztribúció-deriváltjai. Speciális parciális differenciálegyenletek általános megoldásának megkonstruálása. A Laplace, hullám ill. hővezetés operátorainak fundamentális megoldásai.
Ajánlott irodalom
1. Vlagyimirov: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, 1979.
2. Simon-Baderko: Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.
|
|
Mv4103 A geometriai szerkeszthetőség algebrai elmélete
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Szendrei Ágnes Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv4103 A geometriai szerkeszthetőség algebrai elmélete TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Euklideszi szerkesztés, algebrai átfogalmazás. Testbővítés, az egyszerű algebrai bővítés, végesfokú bővítés. Nevezetes nem szerkeszthető feladatok: körnégyszögesítés, kockakettőzés, szögharmadolás. Szabályos sokszögek szerkeszthetősége. Néhány középiskolai szerkesztési feladat. Felbontási test, normális testbővítés, Galois-csoport. A szerkeszthetőség szükséges és elegendő feltétele. Az euklideszitől különböző eszközökkel történő szerkesztések.
Ajánlott irodalom
1. Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, 1985, 1988, JATE Press, 1993, 1998.
2. Czédli Gábor: Szerkeszthetőségi feladatok, JATE Press, 2001.
3. Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Geometriai szerkeszthetőség, Polygon Könyvtár, 1997.
|
|
Mv4107 Az algebra története Hammurapitól Birkhoffig
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Klukovits Lajos Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv4107 Az algebra története Hammurapitól Birkhoffig TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Másodfokú egyenletek megoldása a Hammurapi dinasztia korában. A lineáris egyenletrendszerek megoldási technikái az ókori Kínában: a két hamis föltevés szabálya, elimináció.
A középkori iszlám tudósok geometriai módszerei a harmadfokú egyenletek megoldására.
A reneszánsz Itália algebrája: a pisai Leonardotól Bombelliig. Az út, amely elvezetett Galois eredményeihez.
Az absztrakt algebra fejlődésének kezdeti szakasza: a permutációcsoportoktól az első struktúratételekig. G. Birkhoff korai eredményei: szubdirekt szorzat, varietások.
Ajánlott irodalom
1. A. P. Juskevics: A középkori matematika története, Gondolat, 1982.
2. M. Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1979, 1990.
3. B. L. van der Waerden: Egy tudomány ébredése, Gondolat, 1977.
4. B. L. van der Waerden: A History of Algebra, Springer, 1985.
|
|
Mv4115 Számelmélet
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Megyesi László Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv4115 Számelmélet TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A racionális számok tizedestört alakja: osztályozásuk, szakaszosság, szakaszhossz (tetszőleges alapú számrendszerben). Véges és végtelen lánctörtek: konvergenciájuk, periódikusság; az irracionális számok reprezentálása; alkalmazásuk a határozatlan egyenletek megoldására (Pell-egyenlet). Bevezetés az algebrai számelméletbe: a Gauss- és az Euler-egészek gyűrűje; irreducibilis és prímelemek, egyértelmű irreducibilis faktorizáció; algebrai számtestek, kvadratikus testek. Bevezetés az analitikus számelméletbe: transzcendens szám létezése, Liuoville-tétele; racionális approximáció, $e$, ill. $\pi$ irracionális és transzcendens volta; Hilbert VII. problémája (ismertetés).
Ajánlott irodalom
1. Gyarmati Edit, Turán Pál: Számelmélet, Tankönyvkiadó, ELTE jegyzet, 1975.
2. Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, 1997.
3. I. Niven, H.S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe, Műszaki Könyvkiadó, 1978.
|
|
Mv4203 Analízis feladatmegoldó szeminárium
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Németh Zoltán Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv4203 Analízis feladatmegoldó szeminárium TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Elsősorban az analízis fogalmait elmélyítő, az egyetemi törzsanyagnál nehezebb feladatok szemináriumszerű feldolgozása. A hallgatóknak önállóan is kell feladatokat megoldani. Témakörök, egyenlőtlenségek, sorozatok, sorok, differenciálás, integrálás, egyszerű differenciálegyenletek, rekurziók, aszimptotikák.
Ajánlott irodalom
1. Pólya-Szegő, Feladatok és tételek az analízis köréből I-II
2. Newman, A problem seminar, Amer. Math. Monthly
|
|
Mv4205 Az analízis módszereinek alkalmazása a matematika egyéb területein
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Pintér Lajos Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv4205 Az analízis módszereinek alkalmazása a matematika egyéb területein TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Az analízis módszereit elsősorban a számelmélet egyes kérdéseinek tárgyalása során használjuk fel. Ilyen kérdések például, a prímszámok száma és e probléma különböző bizonyításai. Ezekkel kapcsolatban felmerülő kérdések tárgyalása, például a $\sum {1\over n^2}$ konvergenciája, ennek matematikai története, stb. A $\sum {1\over p}$ divergenciájának különféle bizonyításai. Az algebra alaptételének különféle hivatalos tananyagban nem szereplő bizonyításai. Geometriai kérdések, pl. a Kakeya probléma, ezzel kapcsolatban Besicovitch, Perron bizonyításai és ezek következményei.
Ajánlott irodalom
1. I. Niven-H. Zuckerman, Bevezetés a számelméletbe, Műszaki Könyvkiadó, 1978;
2. Erdős Pál-Surányi János, Válogatott fejezetek a számelméletből, Polygon Kiadó, 1996.
3. Kosztolányi J.-Makay G.-Pintér K.-Pintér L.: Matematikai problémakalauz, Polygon, 1999;
4. I. Schoenberg, Mathematical time expozures.
5. Az American Mathematical Monthly, Mathematical Gazette és Mathematical Magazine, valamint A Matematika Tanítása című folyóiratoknak a témával kapcsolatos cikkei.
|
|
Mv4229 Végtelen sorok szummációja
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Németh Zoltán Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv4229 Végtelen sorok szummációja TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Az elemi sorelmélet néhány tétele, dini-tételkör. Összegzés számtani közepeléssel. Sorozatok és sorok mátrix transzformációi, Töplitz-Schur tétel és alkalmazásai. A szummációelmélet jellegzetes problémái és eredményei a Cesaro- és az Abel-módszer példáján (konvexitási, permanencia-, Tauber-, konvergenciafaktor-tételek). Nörlund- és Riesz-féle összegzések. Erős és abszolút összegzések. Statisztikus konvergencia. A szummációelmélet tárgyalása a funkcionálanalízis eszközeivel. Alkalmazások hatvány-, Fourier- és ortogonális sorokra.
Ajánlott irodalom
1. G.H. Hardy, Divergent series;
2. Peyerimhoff, Lectures on summability;
3. I.J. Maddox, Elements of functional analysis;
4. K. Knopp, Infinite series.
|
|
Mv4503 Bevezetés a disztribúcióelméletbe II.
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Hegedűs Jenő Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv4503 Bevezetés a disztribúcióelméletbe II. TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Többváltozós disztribúciók lokális tulajdonságai, kiterjesztési problémák. Az egységbontás tétele és alkalmazásai. Határátmenet a $\D'(\R^n)$ térben, $\delta$-sorozatok, a $\D'$-tér gyenge teljessége.
A $\D'(\R^n)$-beli disztribúciók korlátos tartományokon vett megszorításai, s ezek reprezentációja. A teljes téren definiált disztribúciók struktúrája. Kompakt tartójú ill. egy pontra koncentrált disztribúciók jellemzése, előállítása.
Disztribúciók direkt szorzata ill. konvolúciója, a konvolúció legfontosabb tulajdonságai, inhomogén parciális differenciálegyenletek partikuláris megoldásai. Tesztfüggvények és disztribúciók Fourier transzformációja; a $\D, D'$ terek, ill "duálisaik": $Z$, $Z'$ egy ill.
több-dimenziós esetben; analitikus funkcionálok. Parciális differenciálegyenletek "duális" megfelelői; konvolúció Fourier-transzformáltja. Tetszőleges (konstans együtthatós lineáris) parciális differenciál-operátor fundamentális megoldása létezésének bizonyítása; a megoldás megkonstruálása a Hörmander lépcsők segítségével. Inhomogén parciális differenciálegyenletek nem kompakt tartójú jobboldal esetén.
Ajánlott irodalom
1. Vlagyimirov: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, 1979.
2. Simon-Baderko: Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.
|
|
Mv5101 Diszkrét matematikai játékok
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Csákány Béla Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv5101 Diszkrét matematikai játékok TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Játék-fogalmak, a játékok osztályozása. Stratégiai játékok. Diszkrét játékok, gráfreprezentációjuk. Stratégia diszkrét játékban. Neumann János alaptétele optimális tiszta stratégia létezéséről véges diszkrét játékban.
Végesfokú szimmetrikus normál játék magja. Sprague és Grundy elmélete a mag kiszámításáról. Néhány nevezetes játék elmélete: Nim, Wythoff-játék, Chomp, oktális játékok. Steinhaus és Kalmár elmélete szorzatjáték magjáról.
Malomszerű játékok. Hex; kapcsolata a Brouwer-féle fixponttétellel. Párosítási stratégiák. Topológikus játékok.
Egyszemélyes játékok. Permutációjátékok: tizenötös játék, bűvös kocka. Szeges szoliter. Sejtautomaták: hangya, Fredkin játéka, Conway-féle életjáték. Édenkert-tételek.
A számfogalom felépítése Conway szerint; kapcsolata a kétszemélyes diszkrét játékokkal.
Ajánlott irodalom
1. E.R. Berlekamp, J.H. Conway, R.K. Guy: Winning Ways, Academic Press, 1982.
2. Csákány Béla: Diszkrét matematikai játékok, Polygon, 1998.
|
|
Mv5105 Számelmélet és alkalmazásai
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Megyesi László Dr.
Teljesítendő:min. 4 kredit | Mv5105 Számelmélet és alkalmazásai TTK Előadás Kötelező 3 óra / 4kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Javasolt felvétele: a képzés 2. félévében. Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Véges és végtelen lánctörtek: konvergenciájuk, periódikusság; az irracionális számok reprezentálása; alkalmazásuk a határozatlan egyenletek megoldására (Pell-egyenlet). Véletlen sorozatok generálása mintavételhez. Bevezetés az algebrai számelméletbe: a Gauss- és az Euler-egészek gyűrűje; irreducibilis és prímelemek, egyértelmű irreducibilis faktorizáció; algebrai számtestek, kvadratikus testek. Alkalmazásuk a határozatlan egyenletek megoldhatóságának vizsgálatára (pl. az $x^3+y^3=z^3$ egyenletre). Négyzetösszegekre bontás. Transzcendens szám létezése. A Riemann-féle $\zeta$ függvény és alkalmazásai, Dirichlet-sorozatok. Álprímek, prímtesztek, faktorizáció.
Ajánlott irodalom
1. Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.
2. Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, 1997.
3. I. Niven, H.S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe, Műszaki Könyvkiadó, 1978.
|
|
Mv5207 Fejezetek a komplex függvénytanból
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Leindler László Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv5207 Fejezetek a komplex függvénytanból TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Riemann-féle számgömb. Lineáris függvények. A Bolyai-Lobacsevszkij-féle sík Poincaré-féle modellje. Riemann-felületek. Függvény viselkedése a végtelen távoli pontban. Holomorf függvény inverze. A reziduumszámítás alkalmazásai határozott integrálok kiszámítására. A $\ctg \pi z$ függvény felbontása parciális törtek összegére. Egész függvények szorzat-előállítása. Gamma-függvény.
Ajánlott irodalom
1. Szőkefalvi-Nagy Béla: Komplex függvénytan, Tankönyvkiadó, 1988.
|
|
Mv5210 Fourier-sorok
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Németh Zoltán Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv5210 Fourier-sorok TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: mindkét félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Fourier sor, együtthatók tulajdonságai. Banach tér, homogén Banach tér, szummációs magfüggvények. Példák, $C, C^n, L^p, L^\infty, {\rm Lip}\ \alpha$ terek. A Fourier sor normában szummálhatósága, trigonometrikus polinomok sűrűsége, unicitástétel, Riemann-Lebesgue lemma. A Fejér- és a Dirichlet-magfüggvény. Lokális konvergencia, Fejér és Lebesgue tételei. Fourier-együtthatók nagyságrendje (sinus-sor, cosinus-sor, $f\in{\rm Lip}\ \alpha$). Lipschitz feltétel, folytonossági modulus. Lokális konvergencia, Dini-, Dini-Lipschitz tételek. Lokalizációs tétel. Következmények. Fejér példája. Divergenciahalmazok. Az abszolút konvergencia feltételei. Abel-összegzés, konjugált sor, konjugált függvény. A Fourier-sor és a konjugált sor eltérő viselkedése. Függvény és konjugált függvény viselkedése, a konjugált sor és a normában való konvergencia.
Ajánlott irodalom
1. J. Katznelson, Introduction to harmonic analysis
2. A. Zygmund, Trigonometric series I-II.
|
|
Mv5307 Számítógépes geometriai leíró nyelvek
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Nagy Gábor Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv5307 Számítógépes geometriai leíró nyelvek TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Polárformák, blossoming alapelv, deriválás, felületek.
B-szplájnok, polárformákkal, de Boor algoritmus.
Interpoláció, reguláris eset.
Szórt adat interpoláció.
Genetikus algoritmus, egyszerű GA, evolúciós algoritmus, a sémák versenye.
Számítógépes bemutató, CAD rendszerek, Peters algoritmus.
|
|
Mv5309 Véges geometriák és kódok
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Kiss György Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv5309 Véges geometriák és kódok TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Javasolt felvétele: a képzés 1. félévében. Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Ciklikus kódok, a Reed-Müller és a Kerdock kód, algebrai geometriai kódok, a Golay kódok, önduális kódok. Titokmegosztási sémák és azonosítási rendszerek készítése véges terek speciális típusú ponthalmazaiból.
Ajánlott irodalom
1. P.J. Cameron, J.H. van Lint: Designs, Graphs Codes and their Links, LMS Student Texts 22, Cambridge University Press 1991;
2. V.D. Goppa: Geometry and Codes, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1988;
3. A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projective Geometries, From Foundations to Application, 1998.
|
|
Mv5403 Dinamikus rendszerek
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport
Teljesítendő:min. 4 kredit | Mv5403 Dinamikus rendszerek TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Javasolt felvétele: a képzés 3. félévében. Különösen javasolt a(z) 3. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Poincaré-Bendixson tétel. Nyeregpont tulajdonság, invariáns sokaságok. Periodikus megoldás stabilitása, orbitális stabilitás. Stabilitáselmélet. Strukturális stabilitás. Bifurkációelmélet. Diszkrét dinamikus rendszerek, Poincaré leképezések, kaotikus viselkedés. Integrálegyenletek. Funkcionál-differenciálegyenletek. Elliptikus parabolikus, hiperbolikus parciális differenciálegyenletek.
Ajánlott irodalom
1. V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1978;
2. A differenciálegyenletek elméletének geometriai fejezetei, Műszaki Könyvkiadó, 1988;
3. S.G. Mihlin, Integrálegyenletek, Akadémiai Kiadó, 1953;
4. L.Sz. Pontrjagin: Közönséges differenciálegyenletek, Akadémiai Kiadó, 1972;
5. M.W. Hirsch and S. Smale: Differential equations, dynamical systems, and linear algebra, Academic Press, 1974;
6. J.K. Hale: Ordinary differential equations, Wiley, 1969.
|
| Mv5404 Dinamikus rendszerek gyak. TTK Gyakorlat Kötelező 1 óra / 1kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Gyakorlati jegy (ötfokozatú)
Javasolt felvétele: a képzés 3. félévében. Különösen javasolt a(z) 3. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport |
|
Mv5409 Matematikai titkosírások
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Czédli Gábor Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv5409 Matematikai titkosírások TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Példák klasszikus rejtjelrendszerekre. Monoalfabetikus és polialfabetikus rendszerek, rotoros siffrírozó gépek és a DES; ezek megbízhatósága. Nyilvános kulcsú titkosírás. RSA. Az RSA-hoz szükséges matematikai háttér: Charmicael-számok, prímtesztek (Miller-Rabin, Solovay-Strassen), prímfaktorizáció (rho-módszer, Fermat-faktorizáció, lánctörteken alapuló módszer). Az RSA kvadratikus test feletti verziója (Williams). Diszkrét logaritmuson alapuló rendszerek (Diffie-Hellman-kulcsváltás, Massey-Omura-rejtjelrendszer, ElGamal). A diszkrét logaritmus meghatározása (Sylvester-Pohlig-Hellman- és az indexkalkulus-módszer). A hátizsákproblémán alapuló titkosírás. Elliptikus görbéken alapuló titkosírások.
Ajánlott irodalom
1. N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, 1987.
2. A. Salomaa: Public-Key Cryptography, Springer-Verlag, 1990.
3. H.C.A. van Tilborg: An Introduction to Cryptology, Kluwer, 1989.
|
|
Mv5505 Sztochasztikus irányítási feladatok elemi megoldással
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Krámli András Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv5505 Sztochasztikus irányítási feladatok elemi megoldással TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 4. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A Markov-láncok és a diszkrét idejű martingálok elemi tulajdonságainak összefoglalása. Optimális megállás, a legjobb elem kiválasztásának feladata. A Bellman-elv. Statisztikai alkalmazások: hipotézis vizsgálat szekvenciális döntési eljárással, a risztás problémája. Alkalmazások játékokra: a merész és az óvatos játék. A kétkarú bandita feladata, ismert és ismeretlen paraméter esetén.
Ajánlott irodalom
1. M.H. DeGroot: Optimal Statistical Decision, McGraw-Hill, New York, 1970.
|
|
Mv5507 Többváltozós komplex függvénytan I.
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv5507 Többváltozós komplex függvénytan I. TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 3. félévtőlMeghirdetése: az őszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
${\bf CC}^n$-beli hatványsorok, Reinhardt tartományok, logaritmikus konvexitás. Véges dimenziós parciális holomorfia, Hartogs tétele. Polinomok vektortereken, Banach térbeli hatványsorok konvergenciája, komplex Banach terek leképezéseinek Fréchet- és Gateaux-féle differenciálhatósága, holomorf leképezések Taylor sora: Hartogs és Zorn tételei, Cauchy becslések, általánosított maximum-elvek, Schwarz lemma, holomorf leképezések folytathatósága: Riemann szingularitás-megszüntetési tételei, Hartogs-alakzatok.
Cél: Az egyváltozós komplex analízis alapvető eredményei ismeretében bevezető a többváltozós és végtelen dimenziós Banach térbeli komplex függvénytanba.
Ajánlott irodalom
1. L. Hörmander, Complex Analysis in Several Variables;
2. W. Kaup, Komplex Analysis II (Tübingeni egyetemi jegyzet);
3. Stachó: Többváltozós komplex függvénytan (kézirat).
|
|
Mv6205 Ortogonális sorok
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Németh Zoltán Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv6205 Ortogonális sorok TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 2. félévtőlMeghirdetése: mindkét félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Súlyfüggvény szerinti $L^2$ tér, Riesz-Fischer tétel, ortogonalizáció, Bessel egyenlőtlenség, Parseval formula. Az általános Fourier-együtthatók nullkonvergenciája. A trigonometrikus rendszer, Legendre- és Csebisev-féle polinomok, tulajdonságaik. A Rademacher-, Walsh- és Haar-rendszerek és tulajdonságaik. A Haar-rendszer Dirichlet-féle magja, a Haar-sor konvergenciája. Ortogonális polinomrendszerek szerinti sorok, Christoffel-Darboux formula, Dini-Lipschitz feltétel. A lokális konvergencia és a Lebesgue függvény, a trigonometrikus és a Haar-rendszer Lebesgue függvénye. Olevskii eredményei egyenletesen korlátos ONR Lebesgue függvényéről. Részsorozatok konvergenciája, a Haar- és a Walsh-rendszer kapcsolata. A majdnem mindenütt való konvergencia, a Rademacher-Menysov tételkör. A Tandori-féle norma tulajdonságai. A feltétel nélküli konvergencia. Teljes ONR szerinti sorok divergenciája, a Haar-rendszer $\omega$-árendezése.
Feltétel nélküli és abszolút konvergencia feltételei, a Haar-sor szerepe. A Kolmogorov-Seliverstov-Plessner tételkör.
Ajánlott irodalom
1. Alexits Gy., Convergence problems of orthogonal series,
2. Olevskii, Fourier series with respect to general orthogonal systems.
|
|
Mv6301 Geometriai tomográfia
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport. Felelős oktató:Kurusa Árpád Dr.
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv6301 Geometriai tomográfia TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Javasolt felvétele: a képzés 1. félévében. Különösen javasolt a(z) 1. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
A matematikának ezt az új fejezetét egyelőre inkább a hasonlónak látszó és rokon módszerekkel kezelhető problémák, feladatok és tételek alkotják, ezért a félév során igyekszünk minél több ilyen probléma családot elővenni és síkon megvizsgálni: a röntgen kép probléma, ill. az árnyék kép probléma (párhuzamos és divergens) is azt feszegeti, hogy vajon tényleg képesek-e a csomagban lévő tartalmat a vámosok megállapítani egyszerű röntgen átvilágítással. Az itt talált megoldásokat hasznosítja a számítógépes tomográf is, amivel az orvosok a betegek daganatait keresik.
Ajánlott irodalom
1. R.J. Gardner: Geometric tomography könyve és sok cikk.
|
|
Mv6509 Többváltozós komplex függvénytan II.
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport
Teljesítendő:min. 3 kredit | Mv6509 Többváltozós komplex függvénytan II. TTK Előadás Kötelező 2 óra / 3kredit
A tárgyelem nem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Különösen javasolt a(z) 4. félévtőlMeghirdetése: a tavaszi félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport- Leírás - Annotation
- Tematika
Banach térbeli korlátos tartományok holomorf automorfizmusai: Cartan unicitás tétele, Vigué folytonossági tétele. Carathéodory- és Kobayashi-féle távolságok, infinitezimális Carathéodory- és Kobayashi-féle metrikák. Tartományban teljes holomorf vektormezők Lie-algebrája, korlátos tartomány holomorf automorfizmus csoportjának Banach-Lie strukturája.
Cél: A Banach térbeli korlátos tartományok holomorf geometriája alapjai.
Ajánlott irodalom
1. J.-M. Isidro - L.L. Stachó, Holomorphic Automorphism Groups in Banach Spaces (Nort Holland, 1985);
2. H. Upmeier: Symmetric Banach Manifolds (North Holland, 1985).
|
|
Mv9990 Speciálkollégium
Felelős tanszék: Matematikai Tanszékcsoport
Teljesítendő: | Mv9990 Speciálkollégium TTK Előadás 2 óra / 3kredit
A tárgyelem ismételhető. Teljesítés módja: Kollokvium
Meghirdetése: mindkét félévben.
Kurzushirdető tanszék: Matematikai Tanszékcsoport |
|
|